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\geometry{left=0.3cm,right=0.3cm,top=0.54cm,bottom=0.54cm}
\title{复变函数期末手册}

\begin{document}
	
	\begin{multicols}{2}
		\noindent 复变考试手册：复数运算+解析函数+积分+级数+留数\\
		作者: Leid\footnote{sunxufeng@hrbeu.edu.cn}\\
		复数的四则运算
		\begin{align*}
		&·z_1 \pm z_2 = (x_1+x_2) \pm \mathrm i(y_1+y_2)\\
		&·z_1z_2 = (x_1+\mathrm iy_1)(x_2+\mathrm iy_2)
		= (x_1x_2-y_1y_2)+\mathrm i(x_1y_2+x_2y_1) \\
		&·\frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1+\mathrm iy_1}{x_2+\mathrm iy_2}
		= \frac{(x_1x_2+y_1y_2)+\mathrm i(x_2y_1-x_1y_2)}{{x_2}^2+{y_2}^2}(z_2\neq 0)
		\end{align*}	
		共轭复数的运算性质：
		\begin{align*}
		&·\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2}\\
		&·\overline{z_1z_2} = {\overline{z_1}}*{\overline{z_2}}\\
		&·\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\neq 0)
		\end{align*}
		复数模的几个性质：
		\begin{align*}
		&·{\lvert z \rvert}^2 = z \overline{z}\\
		&·\lvert z_1z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert\\
		&·\lvert \frac{z_1}{z_2} \rvert = \frac{\lvert z_1 \rvert} {\lvert z_2 \rvert}(z_2 \neq 0)
		\end{align*}
		指数形式
		\begin{align*}
		&·z = r(\cos \theta + \mathrm i \sin \theta)=r e^{\mathrm i \theta}\\
		&·r = \lvert z \rvert\\
		&·\theta = \rm{arg} z = \rm{Arg} z + 2n \pi (n=0,\pm 1,\pm 2,...)\\
		&·-\pi \textless \rm{Arg} z \leq \pi
		\end{align*}
		指数形式运算性质：
		\begin{align*}
		&·e^{\mathrm i \theta_1}e^{\mathrm i \theta_2} = e^{\mathrm i (\theta_1 + \theta_2)}\\
		&·\frac{e^{\mathrm i \theta_1}}{e^{\mathrm i \theta_2}} = e^{\mathrm i (\theta_1 -\theta_2)}\\
		&·\rm{arg}(z_1z_2)=\rm{arg} z_1+\rm{arg} z_2=\theta_1+\theta_2+2n\pi(n=0,\pm 1,\pm 2,...)
		\end{align*}
		复数的根：$\mathrm z$ 是 $\mathrm z_0$的n次根
		\begin{align*}
		&·r^{n} e^{in\theta}=r_0 e^{i\theta_0}\\
		&·r^n=r_0\\
		&·n\theta = \theta_0 + 2k\pi\\
		&·\theta = \frac{\theta_0+2k\pi}{n}=\frac{\theta_0}{n}+\frac{2k\pi}{n}(k=0,\pm 1,\pm 2,...)\\
		&·z_0 ^{\frac{1}{n}}=z=\sqrt[n]{r_0}e^{[\mathrm i(\frac{\theta_0}{n}+\frac{2k\pi}{n})]}(k=0,\pm 1,\pm 2,...)		
		\end{align*}
		复变函数的导数：
		\begin{align*}
		·\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z} =
		\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=f'(z_0)
		\end{align*}
		解析函数与可导函数：		
	    \begin{align*}
	    & \text{在} z_0 \text{的领域可导} \rightarrow \text{在} z_0 \text{处解析} \\
     	& \text{在区域} D \text{内处处解析} \rightarrow \text{在区域} D \text{内是解析函数}
	    \end{align*}	
		函数解析的充要条件(Cauchy-Riemann)：
		\begin{align*}
		&·w=f(z)=u(x,y)+\mathrm i v(x,y)\\
		&·u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微\\
		&·\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}
		\end{align*}
		Laplace方程：
		\begin{align*}
		·\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0
		\end{align*}
		调和函数相关：
		\begin{align*}
		&·\text{在区域D内具有连续二阶偏导数且满足Laplace方程的}\\&\text{二元实函数，称为区域D内的调和函数}\\
		&·f(z)\text{是D内的解析函数} \rightarrow u,v \text{为D内的调和函数}\\
		&·\text{在D满足C-R方程的调和函数}u,v\rightarrow v\text{为}u\text{的共轭调和函数}
		\end{align*}
		函数解析的充要条件(调和函数角度)：
		\begin{align*}
		·f(z)\text{的虚部}v(x,y)\text{是实部}u(x,y)\text{的共轭调和函数}
		\end{align*}
		初等函数：
		\begin{align*}
		&·\text{指数函数}e^z=e^{x+\mathrm iy}=e^x(cosy+\mathrm isiny)\\
		&·\text{三角函数}\cos z=\frac{1}{2}(e^{\mathrm iz}+e^{-\mathrm iz}); \sin z=\frac{1}{2\mathrm i}(e^{\mathrm iz}-e^{-\mathrm iz})\\
		&·\text{对数函数}w=\rm{Ln}z(z=e^w)=\rm{ln}|z|+\mathrm i\rm{Arg}z\\
		&\text{主值}lnz=ln|z|+\mathrm i\rm{arg}z\\
		&\rm{Ln}z = \rm{ln}z +2k\pi \mathrm i (k=\pm 1,\pm 2,...)\\
		&·\text{幂函数}w=z^a=e^{aLnz}=e^{alnz+\mathrm iak\pi}=e^{alnz}e^{\mathrm i 2ak\pi}(k=0,\pm 1,...)
		\end{align*}
		复变函数积分：
		\begin{align*}
		&·\int_{C} f(z)\mathrm{d}z=\lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} f(\zeta_k)\Delta z_k = \lim_{n \to \infty} S_n\\
		&·\oint_{C} f(z) \mathrm{d}z \text{(C为闭曲线，且沿着逆时针方向)}\\
		&·z(t)=x(t)+\mathrm iy(t) (a\leq t\leq b)\\
		&\int_{C}f(z)\mathrm{d}z = \int_{a}^{b}f[z(t)]z'(t)\mathrm{d}t\\
		&·\int_{C}f(z)\mathrm{d}z = \int_{C}u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+\mathrm{i}\int_{C}v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y
		\end{align*}
		柯西积分定理：
		\begin{align*}
		&·\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z=0
		\end{align*}
		复合闭路定理：
		\begin{align*}
		&·C=C_0+C_1^{-}+...+C_n^{-}\\
		&·\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z=0\\
		&·\oint_{C_0}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{k=1}^{n}\oint_{C_k}f(z)\mathrm{d}z
		\end{align*}
		柯西积分公式：（$z_0$是D内任意一点）
		\begin{equation*}
		·f(z_0) = \frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z
		\end{equation*}	
		高阶导数公式：
		\begin{equation*}
        ·f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi\mathrm i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z(n=1,2,...)
		\end{equation*}
		平均值公式：
		\begin{equation*}
		·f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_0+Re^{\mathrm i\theta})\mathrm{d}\theta
		\end{equation*}
		Morrera定理：
		\begin{equation*}
		·\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z = 0 \rightarrow f(z)\text{在}D\text{内解析}
		\end{equation*}
		复数项级数敛散性：
		\begin{align*}
		&·\sum_{n=1}^{\infty}z_n\text{收敛} \leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n \text{and}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\text{收敛}\\
		&·\sum_{n=1}^{\infty}z_n\text{收敛} \rightarrow \lim_{n \to \infty}z_n=0\\
		&·\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\text{收敛} \leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| \text{and}\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|\text{收敛}
		\end{align*}
		复变函数项级数：
		\begin{equation*}
		\begin{aligned}
		&·\sum_{n=1}^{\infty}f_n(z)=S(z)\\
		&·\int_{C}S(z)\mathrm{d}z=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{C}f_n(z)\mathrm{d}z\\
		&·S'(z)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(z)(z\in D)
		\end{aligned}
		\end{equation*}
		阿贝尔定理$or$求幂级数收敛半径$R$：
		\begin{align*}
		&·\text{幂级数}\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^{n}\text{满足}\lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\lambda(\sqrt[n]{|a_n|})\\
		&· R = \infty,(\lambda=0)\\
		&· R = \frac{1}{\lambda},(0\textless \lambda \textless \infty)\\
		&· R = 0,(\lambda=\infty)
		\end{align*}
		幂级数性质：\\
		（$S(z)$在幂级数收敛圆域内解析可积）
		\begin{align*}
		&·S^{(k)}(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(k+n)!}{n!}a_{k+n}(z-z_0)^n(k=1,2,...)\\
		&·\int_{C}S(z)\mathrm{d}z=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{C}a_n(z-z_0)^n\mathrm{d}z
		\end{align*}
		泰勒级数：\\
		(圆域内)
		\begin{align*}
		&·f(z)=a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+...\\
		&\text{其中}a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(n=1,2,...)
		\end{align*}
		洛朗级数：\\
		(圆环域内唯一展开)
		\begin{align*}
		&·f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\\
		&\text{其中}a_n = \frac{1}{2\pi \mathrm i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}z(n=0,\pm 1,\pm 2,...)\\
		&C\text{为任意圆周：}|z-z_0|=R(R_1\textless R\textless R_2)
		\end{align*}
		可去奇点$z_0$：
		\begin{align*}
		·\text{洛朗展开中}(z-z_0)\text{的负幂项系数}a_{-1},a_{-2},...,a_{-m}=0
		\end{align*}
		$m$阶极点：
		($\frac{1}{f(z)}$的$m$阶零点)
		\begin{equation*}
		\begin{aligned}
		&·f(z) = \frac{1}{(z-z_0)^m}g(z)\\
		&·g(z)=a_{-m}+a_{-m+1}(z-z_0)+...+a_0(z-z_0)^m+...
		\end{aligned}
		\end{equation*}
		本性奇点：
		\begin{equation*}
		·\lim_{z \to z_0}f(z) \text{不存在}
		\end{equation*}
		m阶零点：
		\begin{equation*}
		·f(z)=(z-z_0)^m\phi(z)
		\end{equation*}
		留数：
		\begin{equation*}
		·\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z=a_{-1}
		\end{equation*}
		$m$阶极点的留数：
		\begin{equation*}
		·\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)}\lim_{z \to z_0}\frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)]
		\end{equation*}
		$f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$一阶极点$z_0$的留数：
		\begin{equation*}
		\begin{aligned}
		·\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}
		\end{aligned}
		\end{equation*}
		留数定理(常用来计算积分)：
		\begin{equation*}
		\begin{aligned}
        ·\oint_{C}f(z)\mathrm{d}z=2\pi\mathrm i\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}[f(z),z_k]
		\end{aligned}
		\end{equation*}
		留数计算某些实变函数定积分：
		\begin{align*}
		&·\int_{0}^{2\pi}R(\sin\theta,\cos\theta)\mathrm{d}\theta = 2\pi\mathrm{i}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{Res}[F(z),a_k]\\
		&·\int_{-\infty}^{\infty}R(x)\mathrm{d}x=\2\pi\mathrm{i}\sum_{k=1}^{p} \mathrm{Res} [R(z),a_k]\text{(上半平面)}\\
		&·\int_{-\infty}^{\infty}R(x)e^{\mathrm{i}ax}\mathrm{d}x(a\textgreater 0)=2\pi \mathrm i\sum_{k=1}^{p}\mathrm{Res}[R(z)e^{\mathrm{i}az},a_k]\text{(上半平面)}
		\end{align*}
	    拉普拉斯逆变换(留数求法)
		\begin{align*}
		2\pi\mathrm{i}\int_{\beta-\mathrm{i}\infty}^{\beta+\mathrm{i}\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum_{k=1}^{n}\rm{Res}[F(s)e^{st},s_k]
		\end{align*}
		
	\end{multicols}
	
\end{document}